On Monday 20 September 2004 17:47, Rohan Lean wrote:
Da hier jetzt anscheinend doch ein reges Interesse an der Aufgabe herrscht, hier jetzt mal die urspruengliche Aufgabe, von der aus ich mir die anderen Aussagen hergeleitet hatte:
Die Seitenlaengen a,b,c eines Dreiecks ABC seien ganzzahlig und Teiler seiner Umfangslaenge U. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichseitig ist.
Ein Beweis dafuer, dass ein gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck nicht die Anforderungen erfuellt ist sehr leicht zu finden und ich werde ihn jetzt nicht ausfuehren. Probleme bereitet mir der Beweis dafuer, dass ein nicht gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck die Anforderungen nicht erfuellt. Ich habe jetzt folgende "ueberarbeiteten" Gleichungen aufgestellt, komme aber nicht weiter:
1. U=a+b+c; 2. a/c+b/c=m; wobei m eine positive Ganze Zahl ist 3. a/b+c/b=n; wobei n " 4. b/a+c/a=o; wobei o "
Woher kommen 2-4? Die Seiten müssen nur irgendein Teiler der Umfangslänge sein!
Vielen Dank nochmal und viel Spass beim Knobeln!!!
So eine Mittagspause kann doch zu was gut sein. Es geht über eine
Abschätzung der längsten (zwei) Seite(n), die es ja in einem nicht
gleichseitigen Dreieck geben muss.
Annahme es gibt ein nicht gleichseitiges Dreieck, was die Bedingung
erfüllt.
Man kann o.B.d.A (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) annehmen, a<=b,
a<=c, b<=c. D.h. man sortiert nach Größe. Wenn man die = Fälle mitnimmt
beschränkt man so die Allgemeinheit tatsächlich nicht (gleichschenklig
mit kurzer und langer Basis sind auch drin). Für die Abschätzungen die
folgen benutzt dann dann einfach das irgendwelche zwei Seiten ungleich
sein müssen
Dann braucht man noch die --ich nenne es mal-- Geschlossenheit. D.h.
dass keine Seite länger als die Summe der beiden anderen sein kann.
U=a+b+c a und b mit c nach oben abschätzen
mindestens ist b<=c und a