Re: x+y=ny für x=1und y=1
On Sun, 2004-09-19 at 21:31, Qlemm wrote:
Bedingung x und y = 1
x+1=ny
1 einsetzen
1+1=n1 2=1n
geteilt durch 1
n=2
Das zeigt, dass es mit 1 geht. Ich soll allerdings beweisen, dass es nur mit 1 geht, und da x und y beliebige zahlen sein duerfen finde ich das ganz schoen schwer...
Gruß jk
MFG, Rohan Lean
On Sun, 2004-09-19 at 22:35, Rohan Lean wrote:
On Sun, 2004-09-19 at 21:31, Qlemm wrote:
Bedingung x und y = 1
x+1=ny
1 einsetzen
1+1=n1 2=1n
geteilt durch 1
n=2
Das zeigt, dass es mit 1 geht. Ich soll allerdings beweisen, dass es nur mit 1 geht, und da x und y beliebige zahlen
Verzeihung, beliebige zahlen > 0;
sein duerfen finde ich das ganz schoen schwer...
Gruß jk
MFG, Rohan Lean
Hallo Rohan Lean:
On Sun, 2004-09-19 at 21:31, Qlemm wrote:
Bedingung x und y = 1
x+1=ny
1 einsetzen
1+1=n1 2=1n
geteilt durch 1
n=2
Das zeigt, dass es mit 1 geht. Ich soll allerdings beweisen, dass es nur mit 1 geht, und da x und y beliebige zahlen
Verzeihung, beliebige zahlen > 0;
sein duerfen finde ich das ganz schoen schwer...
Du müsstest schon mal _genau_ angeben, aus welchen Mengen x,y und n sein sollen! Nicht umsonst beginnen mathematische Ausgaben im Allgemeinen mit "Sei n natürliche Zahl,...". Ansonsten folgender Tipp: Aus x+1=ny und y+1=nx erhälst du nach einigen Umformungen: x^2+x=y^2+y. Dies legt x=y nahe ;-) Nun könnte man mal probieren: x=0.5 ; y=0.5 => x+1=1.5 ; y+1=1.5 Damit gelten: 1.5>0.5, also x+1>y und y+1>x. Zudem sind auch die Bedingungungen y+1=nx und x+1=ny mit n=3 erfüllt. Es gäbe also mindestens eine weitere Lösung... Gruß, Michael -- ____ / / / / /__/ Michael Höhne / / / / / / mih-Hoehne@t-online.de / _____________________________________/
On Mon, 2004-09-20 at 02:30, Michael Hoehne wrote:
Nun könnte man mal probieren: x=0.5 ; y=0.5 => x+1=1.5 ; y+1=1.5
Damit gelten: 1.5>0.5, also x+1>y und y+1>x. Zudem sind auch die Bedingungungen y+1=nx und x+1=ny mit n=3 erfüllt.
Es gäbe also mindestens eine weitere Lösung...
Hier nochmal alle Aussagen: x und y sind 2 beliebige positive Zahlen. x+y=m; x+1=ny; y+1=ox; m,n,o sind natuerliche positive Zahlen>0;
Gruß, Michael
-- Ich hoffe auf eine schnelle Loesung, MFG, Rohan Lean
Am Montag, 20. September 2004 09:43 schrieb Rohan Lean:
On Mon, 2004-09-20 at 02:30, Michael Hoehne wrote:
Nun könnte man mal probieren: x=0.5 ; y=0.5 => x+1=1.5 ; y+1=1.5
Damit gelten: 1.5>0.5, also x+1>y und y+1>x. Zudem sind auch die Bedingungungen y+1=nx und x+1=ny mit n=3 erfüllt.
Es gäbe also mindestens eine weitere Lösung...
Hier nochmal alle Aussagen: x und y sind 2 beliebige positive Zahlen. x+y=m; x+1=ny; y+1=ox; m,n,o sind natuerliche positive Zahlen>0;
Das sieht doch schon ganz anders aus ;-) Niemals vergessen: In der Mathematik (Logik) geht es immer um Aussagen, deren Richtigkeit in Bezug auf andere Aussagen(=Voraussetzungen) bewiesen werden soll. In den meisten Fällen (von Aufgaben) werden alle Voraussetzungen gebraucht! Sollte das nicht der Fall sein, dann stimmt beim Beweis was nicht, oder der Aufgabensteller hat sich einen Spaß erlaubt ;-) Die Lösung geht an deine private Adresse, das ist hier ein bischen OT. Gruß, Michael -- ____ / / / / /__/ Michael Höhne / / / / / / mih-Hoehne@t-online.de / _____________________________________/
Oh Michael, Am Montag, 20. September 2004 11:16 schrieb Michael Hoehne:
Die Lösung geht an deine private Adresse, das ist hier ein bischen OT.
Mich als altem Mathe-Knobler würde Deine Lösung auch sehr interessieren. Bitte eine Kopie auch an mich ;-) Gruß von Heimo -- Heimo Ponnath Webdesign, Rotenhäuserstr. 51, 21109 Hamburg Tel: 040-753 47 95,Fax: 040-752 68 03, http://www.heimo.de/
Da hier jetzt anscheinend doch ein reges Interesse an der Aufgabe herrscht, hier jetzt mal die urspruengliche Aufgabe, von der aus ich mir die anderen Aussagen hergeleitet hatte: Die Seitenlaengen a,b,c eines Dreiecks ABC seien ganzzahlig und Teiler seiner Umfangslaenge U. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichseitig ist. Ein Beweis dafuer, dass ein gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck nicht die Anforderungen erfuellt ist sehr leicht zu finden und ich werde ihn jetzt nicht ausfuehren. Probleme bereitet mir der Beweis dafuer, dass ein nicht gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck die Anforderungen nicht erfuellt. Ich habe jetzt folgende "ueberarbeiteten" Gleichungen aufgestellt, komme aber nicht weiter: 1. U=a+b+c; 2. a/c+b/c=m; wobei m eine positive Ganze Zahl ist 3. a/b+c/b=n; wobei n " 4. b/a+c/a=o; wobei o " 5. a/b+1=m*(c/b); (Eine Umformung von 2.) 6. a/c+1=n*(b/c); (Eine Umformung von 3.) 7. b/c+1=o*(a/c); (Eine Umformung von 4.) Vielen Dank nochmal und viel Spass beim Knobeln!!!
Hallo, On Monday 20 September 2004 17:47, Rohan Lean wrote:
Die Seitenlaengen a,b,c eines Dreiecks ABC seien ganzzahlig und Teiler seiner Umfangslaenge U. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichseitig ist.
Ich merke mal an, dass dies aktuell eine Aufgabe in einem Mathematikwettbewerb der 11. Klassen irgendwo im Pott sein muss. Genauso formuliert. Falls dies in diesem Kontext geschrieben wurde und du entweder teilnimmst oder reines Interesse an der Aufgabe hast, halte ich das für schlecht, da das hier eine öffentliche Liste ist. So, genügend moralische Bedenken geäußert. Ferdinand
Am Montag, 20. September 2004 18:54 schrieb Ferdinand Ihringer:
Hallo,
On Monday 20 September 2004 17:47, Rohan Lean wrote:
Die Seitenlaengen a,b,c eines Dreiecks ABC seien ganzzahlig und Teiler seiner Umfangslaenge U. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichseitig ist.
Ich merke mal an, dass dies aktuell eine Aufgabe in einem Mathematikwettbewerb der 11. Klassen irgendwo im Pott sein muss. Genauso formuliert.
AUTSCH!
Falls dies in diesem Kontext geschrieben wurde und du entweder teilnimmst oder reines Interesse an der Aufgabe hast, halte ich das für schlecht, da das hier eine öffentliche Liste ist.
Auch nichtöffentlich wäre das aber reichlich unfein!
So, genügend moralische Bedenken geäußert.
Schauen wir mal (per PM). Gruß, Michael -- ____ / / / / /__/ Michael Höhne / / / / / / mih-Hoehne@t-online.de / _____________________________________/
Uff Rohan, Am Montag, 20. September 2004 17:47 schrieb Rohan Lean:
Die Seitenlaengen a,b,c eines Dreiecks ABC seien ganzzahlig und Teiler seiner Umfangslaenge U. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichseitig ist.
Ok, das ist jetzt geklärt. Da sieht die Sache doch noch etwas anders aus. Habe jetzt leider nur wenig Zeit, denke aber, daß hier auch noch die Information hilft, daß die Winkelsumme in Dreiecken 180 Grad beträgt. Der Durchmesser des Umkreises (2r) ist a/sin(alpha) = b/sin(beta) = c/ sin(gamma), der Umfang U=a+b+c ist 8r*cos(alpha/2)*cos(beta/2)*cos(gamma/2). Setze ich den ersten Term für 2r darin ein und forme die Cosinusse in Sinusse um, dann folgt daraus (nach einer Umformung) schliesslich: U = a(1 + [sinbeta/sinalfa] + [singamma/sinalfa]) Vor hier aus, denke ich, ist es nur noch ein kleiner Schritt, nachzuweisen, daß alfa = beta = gamma sein muß wenn U und a und b und c ganze positive Zahlen sein sollen, also jeweils 60 Grad und daß es sich daher um ein gleichseitiges Dreieck handeln muß. Wie gesagt, habe jetzt leider nicht die Zeit dafür. Gruß von Heimo -- Heimo Ponnath Webdesign, Rotenhäuserstr. 51, 21109 Hamburg Tel: 040-753 47 95,Fax: 040-752 68 03, http://www.heimo.de/
On Monday 20 September 2004 17:47, Rohan Lean wrote:
Da hier jetzt anscheinend doch ein reges Interesse an der Aufgabe herrscht, hier jetzt mal die urspruengliche Aufgabe, von der aus ich mir die anderen Aussagen hergeleitet hatte:
Die Seitenlaengen a,b,c eines Dreiecks ABC seien ganzzahlig und Teiler seiner Umfangslaenge U. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichseitig ist.
Ein Beweis dafuer, dass ein gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck nicht die Anforderungen erfuellt ist sehr leicht zu finden und ich werde ihn jetzt nicht ausfuehren. Probleme bereitet mir der Beweis dafuer, dass ein nicht gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck die Anforderungen nicht erfuellt. Ich habe jetzt folgende "ueberarbeiteten" Gleichungen aufgestellt, komme aber nicht weiter:
1. U=a+b+c; 2. a/c+b/c=m; wobei m eine positive Ganze Zahl ist 3. a/b+c/b=n; wobei n " 4. b/a+c/a=o; wobei o "
Woher kommen 2-4? Die Seiten müssen nur irgendein Teiler der Umfangslänge sein!
Vielen Dank nochmal und viel Spass beim Knobeln!!!
So eine Mittagspause kann doch zu was gut sein. Es geht über eine
Abschätzung der längsten (zwei) Seite(n), die es ja in einem nicht
gleichseitigen Dreieck geben muss.
Annahme es gibt ein nicht gleichseitiges Dreieck, was die Bedingung
erfüllt.
Man kann o.B.d.A (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) annehmen, a<=b,
a<=c, b<=c. D.h. man sortiert nach Größe. Wenn man die = Fälle mitnimmt
beschränkt man so die Allgemeinheit tatsächlich nicht (gleichschenklig
mit kurzer und langer Basis sind auch drin). Für die Abschätzungen die
folgen benutzt dann dann einfach das irgendwelche zwei Seiten ungleich
sein müssen
Dann braucht man noch die --ich nenne es mal-- Geschlossenheit. D.h.
dass keine Seite länger als die Summe der beiden anderen sein kann.
U=a+b+c a und b mit c nach oben abschätzen
mindestens ist b<=c und a
Am Dienstag, 21. September 2004 13:15 schrieb Axel Heinrici:
... Die Seitenlaengen a,b,c eines Dreiecks ABC seien ganzzahlig und Teiler seiner Umfangslaenge U. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichseitig ist.
...
Woher kommen 2-4? Die Seiten müssen nur irgendein Teiler der Umfangslänge sein!
Das meinte ich: Bei solche Aufgaben braucht man die exakten Voraussetzungen und keine halbfertigen Zwischenergebnisse...
Annahme es gibt ein nicht gleichseitiges Dreieck, was die Bedingung erfüllt.
Man kann o.B.d.A (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) annehmen, a<=b, a<=c, b<=c. D.h. man sortiert nach Größe. Wenn man die = Fälle mitnimmt beschränkt man so die Allgemeinheit tatsächlich nicht (gleichschenklig mit kurzer und langer Basis sind auch drin). Für die Abschätzungen die folgen benutzt dann dann einfach das irgendwelche zwei Seiten ungleich sein müssen
Dann braucht man noch die --ich nenne es mal-- Geschlossenheit. D.h. dass keine Seite länger als die Summe der beiden anderen sein kann. ...
Da kann ich mir meine Ideen sparen ;-) Das geht in die gleiche Richtung: Ich wollte starten mit der Behauptung: Es gibt mindestens 2 Seiten mit unterschiedlicher Länge. Folgende Dinge spuken da in meinem Kopf rum: a) Seien dies oBdA die Seiten a und b mit a>b b) Wegen Dreieck: a+b>=c c) Wegen a,b>c auch a+b>U/3 ... leider immer noch "roter Alarm" wegen Ausfall von zwei Rechnern... Ich will auch eine Pause! Gruß, Michael -- ____ / / / / /__/ Michael Höhne / / / / / / mih-Hoehne@t-online.de / _____________________________________/
Hallo Rohan, Am Montag, 20. September 2004 09:43 schrieb Rohan Lean:
Hier nochmal alle Aussagen: x und y sind 2 beliebige positive Zahlen. x+y=m; x+1=ny; y+1=ox; m,n,o sind natuerliche positive Zahlen>0;
Ein Zwischenschritt, der sich der analytischen Geometrie bedient: Es liegen 3 Geradengleichungen vor: a) y = -x + m b) y = (1/n)x + (1/n) c) y = ox -1 Diese drei Geraden schneiden sich in einem Punkt an dem die Bedingung gilt: (1+n+2o)/(on-1) - m = 0 Das Dumme an der Sache ist jetzt, daß Du uns drei Gleichungen mit insgesamt 5 Unbekannten lieferst. Eine klare Zahlenlösung ist also erstmal nicht möglich. Es muß noch ein wenig weiter mit der gefundenen Bedingung und den drei Funktionen herumgewürfelt werden - vielleicht auch mit ein paar Ungleichungen, die die Voraussetzung ausdrücken, daß m,n und o positive ganze Zahlen und x und y positive Zahlen sind... Gruß von Heimo -- Heimo Ponnath Webdesign, Rotenhäuserstr. 51, 21109 Hamburg Tel: 040-753 47 95,Fax: 040-752 68 03, http://www.heimo.de/
Am Montag, 20. September 2004 15:52 schrieb Heimo Ponnath:
Das Dumme an der Sache ist jetzt, daß Du uns drei Gleichungen mit insgesamt 5 Unbekannten lieferst. Eine klare Zahlenlösung ist also erstmal nicht möglich.
Es muß noch ein wenig weiter mit der gefundenen Bedingung und den drei Funktionen herumgewürfelt werden - vielleicht auch mit ein paar Ungleichungen, die die Voraussetzung ausdrücken, daß m,n und o positive ganze Zahlen und x und y positive Zahlen sind...
Das Konzept in Kürze, da ich immer noch in der Firma hocke: Die Menge der Paare (x,y), die die Gleichungen erfüllen, muß eingeschränkt werden. Dabei muß die Bedingeung n,m,o sin natürliche Zahlen >0 verwurstelt werden. Ich hatte bei n=m (alte Problemfassung) schon eine Lösung, aber die funktioniert nun nicht mehr. Ich habe zur Zeit Roten Alarm in der Firma, daher habe ich erst ab ca. 23:00 wieder Zeit... Gruß, Michael -- ____ / / / / /__/ Michael Höhne / / / / / / mih-Hoehne@t-online.de / _____________________________________/
Am Montag, 20. September 2004 17:37 schrieb Michael Hoehne:
Am Montag, 20. September 2004 15:52 schrieb Heimo Ponnath:
Das Dumme an der Sache ist jetzt, daß Du uns drei Gleichungen mit insgesamt 5 Unbekannten lieferst. Eine klare Zahlenlösung ist also erstmal nicht möglich.
Sagt mal Leute, das ist Euch schon klar, daß das hier eine Suse Liste ist, und keine für Mathe-Hausaufgaben? Deshalb setzt bitte die Diskussion per PM fort! Danke Peter -- Hi! I'm a .signature virus! Copy me into your ~/.signature, please!
participants (6)
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Axel Heinrici -
Ferdinand Ihringer -
Heimo Ponnath -
Michael Hoehne -
Peter Baumgartner -
Rohan Lean